Four Essays in Financial Mathematics

Il primo Capitolo di questa Tesi contiene un approccio generale e astratto a problemi di ottimizzazione di portafoglio secondo un criterio media-varianza. In particolare, vengono studiati e risolti congiuntamente diversi problemi di ottimizzazione in media-varianza, assumendo unicamente una condizione minimale di non-arbitraggio. Le soluzioni ottime a tali problemi vengono descritte esplicitamente, senza alcuna ipotesi sulle caratteristiche del modello sottostante. Inoltre, vengono presentate generalizzazioni di risultati classici dell'economia finanziaria, come il teorema di separazione in due fondi, la frontiera efficiente media-varianza e una formula di tipo CAPM. Infine, i risultati generali ottenuti vengono applicati alla valutazione di strumenti finanziari. Il secondo Capitolo è dedicato allo studio di un modello generale a forma ridotta per il rischio di credito, in cui il tempo di fallimento viene modellizzato come un tempo aleatorio doppiamente stocastico la cui intensità è funzione di un processo diffusivo di tipo affine. Si ottiene una caratterizzazione completa della famiglia di tutte le misure di probabilità localmente equivalenti che preservano la struttura affine del modello, formulando condizioni necessarie e sufficienti sul processo densità. L'utilità di questi risultati generali viene illustrata prima nel contesto di un modello a volatilità stocastica di Heston (1993) con l'aggiunta di un possibile fallimento e succesivamente nel contesto di un modello multi-fattoriale più generale che consente di modellizzare congiuntamente il rischio di credito e il rischio di mercato. Si considerano applicazioni di interesse per la valutazione di strumenti derivati come anche per il risk management. Il terzo Capitolo è dedicato allo studio di modelli basati su processi diffusivi. In particolare, viene mostrato che, anche in assenza di una Misura Martingala Locale Equivalente, il mercato finanziario può essere privo di forme forti di arbitraggio. Basandoci in parte sulla letteratura recente, vengono fornite condizioni necessarie e sufficienti per l'assenza di forme forti di arbitraggio. Tali condizioni coinvolgono il prezzo di mercato del rischio e processi martingale deflator. Indipendentemente dall'esistenza di una misura martingala, si dimostra che il mercato finanziario può essere completo e strumenti derivati possono essere valutati rispetto alla misura di probabilità del mondo reale, utilizzando come numéraire il Growth-Optimal Portfolio. Infine, il quarto Capitolo contiene uno studio delle condizioni di non-arbitraggio più deboli del classico criterio No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR). Vengono fornite condizioni necessarie e sufficienti per la validità di tali condizioni deboli di non-arbitraggio, espresse rispetto alle caratteristiche del processo che rappresenta il prezzo scontato degli asset. Viene anche studiata la stabilità delle condizioni deboli di non-arbitraggio rispetto a cambiamenti di numéraire, cambiamenti assolutamente continui della misura di probabilità di riferimento e restrizioni/allargamenti della filtrazione di riferimento. In particolare, si dimostra che le condizioni deboli di non-arbitraggio considerate nel presente lavoro godono di buone proprietà di stabilità, al contrario di quanto accade per le classiche condizioni di Non Arbitraggio (NA) e NFLVR. Infine, presentiamo una caratterizzazione generale dei titoli finanziari che possono essere replicati, dimostrando che il mercato finanziario può essere completo anche in assenza della condizione NFLVR.