Reduced Order Models and Data Assimilation for Hydrological Applications

Questo lavoro di tesi riguarda lo studio di tecniche di assimilazione di dati basate sul metodo di Monte Carlo (MC) per la simulazione numerica di modelli idrologici in presenza di parametri stocastici. I metodi ensemble Kalman filter (EnKF) e sequential importance resampling (SIR) sono implementati nel modello CATHY, un modello idrologico che accoppia il flusso d'acqua sotterraneo in mezzi porosi con la dinamica del flusso d’acqua superficiale. Il confronto dettagliato dei risultati ottenuti con i due filtri in un caso test sintetico evidenzia i principali vantaggi e inconvenienti associati a queste tecniche. Per migliorare le prestazioni del metodo SIR, in questa tesi è proposta una modifica del passo di update che risulta fondamentale nei casi in cui si usi un ensemble di dimensioni ridotte e la varianza associata all'errore di misura sia piccola. Grazie a questa modifica, entrambi i filtri sono in grado di assimilare misure di carico piezometrico e portata, riducendo la propagazione temporale di errori di modellizzazione dovuti, ad esempio, all'utilizzo di condizioni iniziali o al contorno distorte. La tecnica SIR sembra essere più adeguata dell'EnKF per l’applicazione ai casi test presentati. Si dimostra infatti che l'ipotesi di Gaussianità, che contraddistingue il metodo EnKF, non è soddisfatta in questi casi test, rendendo preferibili metodi più generali come il SIR. Ulteriori approfondimenti sono comunque necessari per stabilire l'affidabilità dei metodi di tipo particle filter, in particolare per garantire l'accuratezza del filtro SIR anche quando viene usato un numero relativamente piccolo di realizzazioni. Siccome il passo di previsione dei metodi SIR ed EnKF è basato sul metodo di MC, la seconda parte della tesi riguarda il problema di ridurre gli onerosi tempi di calcolo associati alla costruzione delle realizzazioni di MC. Con questo obbiettivo, si analizza il risparmio in tempo computazione ottenuto dall'uso di modelli di ordine ridotto (RM) per la generazione dell'ensemble delle soluzioni. La tecnica proper orthogonal decomposition (POD) è applicata alle equazioni lineari del flusso d’acqua sotterraneo in mezzi porosi saturi con ricarica stocastica e distribuita spazialmente, oppure con conducibilità idraulica stocastica e descritta per zone. Gli errori di approssimazione introdotti dal modello ridotto sul calcolo delle singole realizzazioni di MC e sulle corrispondenti statistiche sono analizzati in diversi casi test al variare della distribuzione probabilistica dei parametri stocastici. Particolare attenzione è dedicata alla procedura di calcolo delle principal components che sono necessarie per la proiezione delle equazioni del modello nello spazio ridotto. Il greedy algorithm seleziona gli snapshots tra le realizzazioni di MC considerate, facendo in modo che le principal components finali siano indipendenti dalla particolare realizzazione dei parametri stocastici. Infine, viene introdotta una stima innovativa della norma dell'errore associato alla soluzione del modello ridotto. Tale stima, basata sul calcolo del residuo, è di fondamentale importanza per stimare la precisione del RM e, quindi, inferire sul numero di principal components da usare nella riduzione. Le applicazioni numeriche effettuate su casi test sintetici e reali dimostrano che il greedy algorithm così modificato determina un numero minore di principal components rispetto al metodo tradizionale, pur mantenendo la medesima accuratezza.