Development of scalable linear solvers for engineering applications

Nell'ingegneria d'oggigiorno, le simulazioni numeriche possono facilmente arrivare alle dimensioni di milioni, se non miliardi, di incognite. Diverse applicazioni, specificatamente quelle a carattere diffusivo, richiedono la soluzione di sistemi lineari sparsi con matrici simmetriche definite positive (SPD). In questo contesto, i metodi multilivello rappresentano una scelta corrent, sia da usarsi per come solutori iterativi che come precondizionatori. La weak scalability mostrata da queste tecniche è una delle ragioni principali alla base della loro popolarità, dal momento che consente la soluzione di sistemi lineari di dimensioni crescenti senza un sostanziale aumento del tempo di calcolo e del numero di iterazioni. D'altro canto, i precondizionatori singolo livello, come l'adaptive Factorized Sparse Approximate Inverse (aFSAI), possono avere il vantaggio della strong scalability, principalmente grazie alla fase di setup più semplice. In questo lavoro di tesi, si propongono quattro precondizionatori multilivello, basati sulla tecnica aFSAI. L'obiettivo è la soluzione efficiente di problemi SPD mal condizionati, attraverso l'utilizzo di algoritmi adatti al calcolo parallelo. I primi due metodi, ovvero Block Tridiagonal FSAI (BTFSAI) e Domain Decomposition FSAI (DDFSAI), si basano su tecniche di riordinamento della matrice e su fattorizzazioni approssimate a blocchi, ottenute grazie alla aFSAI. In seguito, si presenta un'estensione delle tecniche precedenti, denominata Multilevel Factorization with Low-Rank corrections (MFLR), in grado di assicurare la definitezza (positiva) dei complementi di Schur e di migliorarne l'approssimazione grazie a delle matrici di correzione a rango basso. Infine, si introduce l'adaptive Smoothing and Prolongation Algebraic MultiGrid (aSPAMG), un precondizionatore appartenente alla famiglia dei metodi multigrid adattivi, che si distingue per alcune caratteristiche, quali l'uso della aFSAI come smoother flessibile, tre strategie per approssimare il near-null space della matrice e due nuovi approcci per calcolare dinamicamente l'operatore d'interpolazione. Nel presente lavoro, si analizzano le caratteristiche dei precondizionatori proposti attraverso la soluzione sia di problemi artificiali che di matrici reali, ricavate da applicazioni ingegneristiche. Infine, si realizzano confronti con altri approcci molto noti, quali aFSAI, ILU (ILUPACK) e BoomerAMG (HYPRE), dimostrando che i metodi proposti hanno delle prestazioni comparabili, se non superiori, in diversi problemi.