Mean field and fluctuations for fermionic systems: from ultracold Fermi gases to cuprates

Questa tesi analizza il ruolo della teoria di campo medio e delle fluttuazioni in due differenti sistemi fermionici: il crossover BCS-BEC e i cuprati superconduttori ad alta temperatura critica. Nella prima parte della tesi si introduce la teoria di campo medio e le fluttuazioni a livello Gaussiano per il crossover BCS-BEC, i.e. l’evoluzione continua osservata in sistemi ultrafreddi di fermioni neutri, da un regime di accoppiamento debole dove i fermioni formano coppie di Cooper, ad un regime di accoppiamento forte dove i fermioni formano dapprima dimeri molecolari bosonici, i quali poi condensano a temperature sufficientemente basse. Si analizzano alcuni problemi correlati al crossover: la frazione condensata nel caso di un gas di Fermi con sbilanciamento di spin, il decadimento di Beliaev per le eccitazioni collettive e il caso di un gas di Fermi bidimensionale, per il quale in particolare si calcolano la velocità del primo suono e le temperatura critica di Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, in accordo molto buono con recenti dati sperimentali. Infine si analizza una procedura di regolarizzazione per l’equazione di stato nel limite deep-BEC che permette di derivare analiticamente il corretto rapporto tra la lunghezza di scattering fermionica e bosonica. Nella seconda parte della tesi si introduce un approccio di gauge alla superconduttività nei cuprati nel quale la buca è decomposta nel prodotto di una particella che porta solo spin, lo spinone, e una particella che porta solo carica, l’holone. La statistica di ciascuna particella è modificata accoppiandola ad un campo di gauge che fornisce un flusso statistico, in un approccio analogo alla bosonizzazione di Chern-Simons. Si ottiene quindi un modello che prevede tre temperature caratteristiche che corrispondono, rispettivamente, alla comparsa di una densità finita di coppie di holoni incoerenti, di una densità finita di coppie di spinoni incoerenti e infine alla coerenza di fase che dà luogo alla superconduttività. In particolare in questa tesi all'interno di tale modello si studia la densità di superfluido, dimostrando che il contributo spinonico e quello holonico si sommano secondo una regola del tutto analoga a quella di Ioffe-Larkin per la resistività, mostrando un ottimo accordo con i dati sperimentali nella regione di doping moderato fino all'optimal doping. Si dimostra anche il formalismo riproduce la quasi-universalità in doping osservata nei dati sperimentali e permette la derivazione analitica di una relazione che approssima la relazione di Uemura per doping moderati.