Regular biproduct decompositions of objects

Questa tesi riguarda principalmente le decomposizioni in biprodotti di oggetti di certe categorie additive che esibiscono un comportamento regolare peculiare. Più precisamente, in certe categorie additive, un biprodotto di oggetti $\{X_i\}_{i<r}$ \`e completamente caratterizzato a meno di isomorfismo da una lista di invarianti $([X_i]_{\equiv_\mu})_{i<r,\mu<n}$, dove $\{\equiv_\mu\}_{\mu<n}$ sono opportune relazioni di equivalenza (n-teorema di Krull-Schmidt). Nel primo capitolo introduciamo prerequisiti che ci permettono di estendere risultati che riguardano certe categorie di moduli a opportune categorie preadditive: il radicale di Jacobson di una categoria preadditiva e suoi ideali associati ad ideali di anelli di endomorfismi (soggetto di ricerche da parte di Facchini e Prihoda), l'immersione universale di una categoria preadditiva in una categoria additiva, e l'immersione universale di una categoria additiva in una categoria additiva in cui gli idempotenti si spezzano. Diamo una versione del Teorema Cinese dei Resti per le categorie preadditive, estrapolato da risultati di Facchini e Perone e generalizzato, e forniamo una versione migliorata del teorema classico di Krull-Schmidt che è il punto di partenza di sviluppi seguenti. Gli anelli e le categorie semilocali sono passati in rassegna nel secondo capitolo, in cui viene anche spiegata la loro relazione con la nozione di dimensione duale di Goldie. Il terzo capitolo è pure dedicato ai prerequisiti, precisamente, ivi cerchiamo di passare in attenta rassegna la teoria della trasposta di Auslander-Bridger. Nel quarto capitolo generalizziamo i risultati di Warfield sui moduli finitamente presentati su anelli semiperfetti ai moduli di Auslander-Bridger, che sono una classe più generale di moduli su anelli arbitrari. Mostriamo come tali moduli sono caratterizzati da due invarianti e come tali invarianti siano scambiati dalla trasposta di Auslander-Bridger. Il quinto capitolo culmina in un criterio per stabilire la validità del sopracitato n-teorema di Krull-Schmidt in una data categoria additiva, a diamo alcuni esempi concreti nel caso di categorie di moduli, come i moduli artiniani con zoccolo eterogeneo prefissato, e nel caso di categorie di rappresentazioni di quiver. Il caso n=2 di detto teorema è noto come ``teorema debole di Krull-Schmidt,'' ed è stato dimostrato negli anni per varie classi di moduli. Una di queste, la classe dei moduli couniformemente presentati, è trattata in un modo più elementare nel sesto capitolo