Monodromy Criterion for the Good Reduction of Surfaces

Sia $p>3$ un numero primo e $K$ un'estensione finita di $\mathbb Q_p$. Consideriamo una superficie propria e liscia $X_K$ su $K$, con un modello semistabile $X$ sull'anello degli interi algebrici $O_K$ di $K$. In questa tesi otteniamo un criterio per la buona riduzione di $X_K$ nel caso di superfici $K3$ in termini dell'operatore di monodromia sul secondo gruppo di coomologia di De Rham $H_{DR}^2(X_K)$.\newline \indent Non usiamo n\'e metodi trascendenti n\'e Teoria di Hodge $p$-adica, come si fa in altri lavori (ad esempio [Ma14], [LM14] o [Pe14]). Noi invece otteniamo una versione $p$-adica della sequenza esatta di Clemens-Schmid e l'utilizziamo per studiare l'indice di nilpotenza dell'operatore di monodromia $N$ sul secondo gruppo di coomologia log-cristallina della fibra speciale $X_s$ del modello semistabile $X$. \newline \indent Grazie al lavoro di Nakkajima ([Na00]), possiamo supporre che $X_s$ \`e una superficie $K3$ combinatoria. Dimostriamo quindi che $X_s$ \`e di tipo I se e solo se $N=0$; $X_s$ \`e di tipo II se e solo se $N\neq 0, N^2=0$; $X_s$ \`e di tipo III se e solo se $N^2 \neq 0$. Questo implica che $X_K$ ha buona riduzione se e solo se l'operatore di monodromia su $H_{DR}^2(X_K)$ \`e zero. \newline \indent Finalmente, diamo qualche idea su come affrontare lo stesso problema, per il caso di superfici di Enriques. In particolare, proviamo che si pu\`o ridurre il problema al caso di superfici $K3$.