Minimal approximations for cotorsion pairs generated by modules of projective dimension at most one over commutative rings

In questa tesi studiamo le coppie di cotorsione (A, B) generate da classi di R-moduli di dimensione proiettiva al più uno. Siamo interessati nel caso in cui queste coppie di cotorsione ammettano ricoprimenti o inviluppi su anelli commutativi. Più precisamente, indaghiamo la congettura di Enochs per A. Cioè, per A contenuta nella classe P_1, che denota la classe di R-moduli di dimensione proiettiva al più uno, cerchiamo di capire se per A una classe ricoprente allora necessariamente implica che A è chiusa per limiti diretti. In più, con certe restrizioni, descriviamo gli anelli che soddisfano questa proprietà. Ci sono due casi da considerare: il caso di coppia di cotorsione di tipo finito e il caso non di tipo finito. Quando la coppia di cotorsione non è (necessariamente) di tipo finito, dimostriamo che per un anello commutativo semiereditario R, se P_1 è una classe ricoprente, deve essere chiusa per limiti diretti. Questo ci da un esempio di una coppia di cotorsione che non è di tipo finito che soddisfa la congettura di Enochs. Successivamente, analizziamo le coppie di cotorsione di tipo finito. Specificamente, le coppie di cotorsione 1-tilting su anelli commutativi. A questo scopo sono indispensabili il lavoro di Hrbek, che caratterizza tali coppie di cotorsione su anelli commutativi, e il lavoro di Positselski e Bazzoni-Positselski nel loro lavoro sui contramoduli. Consideriamo il caso di una coppia di cotorsione 1-tilting (A, T) su un anello commutativo con una topologia di Gabriel associata G, e studiamo quando (A, T) ammette inviluppi. Troviamo che se T ammette inviluppi, G è una topologia di Gabriel perfetta. Cioè, G viene da un epimorfismo piatto di anelli da R a R_G dove R_G è la localizzazione di R rispetto a G. Inoltre, se G è una topologia di Gabriel perfetta, T ammette inviluppi se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e R/J è un anello perfetto per tutti gli ideali J in G se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e l'anello topologico End(R_G/R) è pro-perfetto. Poi consideriamo il caso in cui A è ricoprente. Dimostriamo che A è ricoprente in Mod-R se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e R_G è un anello perfetto e R/J è perfetto per ogni J in G. In aggiunta, studiamo coppie di cotorsione in generale e studiamo condizioni sufficienti affinchè una approssimazione sia minimale. Inoltre, consideriamo una coppia di cotorsione ereditaria e dimostriamo che se ammette ricoprimenti deve ammettere inviluppi.