Quantum Pure States Statistics towards Quantum Dynamics Simulations

Nonostante i primissimi sviluppi dei fondamenti della meccanica quantistica riguardassero la funzione d’onda, la statistica quantistica si è sviluppata attraverso il formalismo della matrice densità, portando a risultati considerevoli nella descrizione di fenomeni molecolari. Solo recentemente diversi autori hanno suggerito una nuova interpretazione della statistica quantistica, focalizzandosi sulla funzione d’onda che rappresenta lo stato di un sistema quantistico isolato. Essi hanno mostrando come una singola funzione d’onda possa presentare proprietà statistiche e ricondurre agli stessi risultati attesi dalla statistica quantistica tradizionale. Grazie a questi contributi, lo studio dei fondamenti della meccanica statistica quantistica ha suscitato un rinnovato interesse. Infatti, la possibilità di studiare proprietà di singola molecola, unita alla necessità di una migliore comprensione degli effetti della dinamica quantistica per lo sviluppo di nuovi materiali nanostrutturati adatti al quantum computing, ha sollevato nuove stimolanti domande che rendono la statistica quantistica lontana dall’essere pienamente compresa e accettata. In questo contesto, il comportamento di una singola realizzazione di un sistema quantistico detiene un ruolo centrale nella descrizione di sistemi molecolari. Recentemente è stato presentato un crescente numero di studi di dinamica quantistica che prevede la soluzione numerica dell’equazione di Schrödinger per sistemi a componenti interagenti. Questi lavori dimostrano come le Simulazioni di Dinamica Quantistica possano essere una via percorribile allo scopo di studiare fenomeni quali la dissipazione, il rilassamento e la termalizzazione. L’attenzione si è quindi spostata dalle molecole isolate a sistemi costituiti da componenti mutualmente interagenti attraverso Hamiltoniani modello caratterizzati da una bassa dimensionalità. É importante a questo proposito l’individuazione di regole che possano essere utilizzate nella scelta dello stato iniziale delle simulazioni per ogni sistema isolato. Infatti, ogniqualvolta vengano considerati gradi di libertà molecolari interagenti con un ambiente modello, non esistono ragioni per selezionare uno stato particolare per il sistema rispetto ad altri, e quindi una scelta casuale all’interno di un insieme statistico ben definito deve essere effettuata. Inoltre si preferisce effettuare tale scelta in modo da assicurare al sistema un ben definito stato termico ed una data temperatura. Tutto ciò richiede una descrizione di tipo statistico analoga a quella condotta per i sistemi classici. Sarà presentata un’utile parametrizzazione della funzione d’onda allo scopo di evidenziare le variabili più adatte all’analisi statistica. Alcune di esse, dette fasi, contengono le informazioni dinamiche, mentre le altre, dette popolazioni, rappresentano le costanti del moto. Queste ultime, in particolare, sono molto importanti poiché descrivono le proprietà di equilibrio strettamente legate ad una descrizione termodinamica. L’individuazione di una distribuzione di probabilità sulle popolazioni è necessaria dato che la dinamica della funzione d’onda non fornisce nessuna informazione riguardo ad esse. Sulla base di assunzioni ragionevoli, sono state proposte diverse distribuzioni sulle popolazioni la cui validazione può essere effettuata solo attraverso considerazioni a posteriori. In particolare Fresch e Moro hanno dimostrato come l’accordo con la termodinamica possa essere utilizzato per discriminare diverse distribuzioni di probabilità sugli stati puri. Questo ha portato gli ensamble uniformi ad essere i modelli fino ad ora formulati più autoconsistenti nella descrizione di sistemi isolati. Tuttavia, in questa tesi evidenzierò un inconveniente delle distribuzioni uniformi che può essere riassunto come segue: quando vengono posti in contatto due sistemi, anche solo attraverso un’interazione perturbativa, non è più possibile descrivere le proprietà di equilibrio dopo l’interazione attraverso una distribuzione statistica di tipo uniforme, poiché perde tale carattere di uniformità. Ciò rappresenta un grave limite del modello da un punto di vista metodologico poiché sistemi chiusi possono sempre essere considerati come derivanti dall’interazione tra sistemi precedentemente isolati. D’altra parte quest’inconveniente introduce un’ulteriore proprietà di diversa natura che può essere utilizzata nella definizione di un nuovo insieme statistico. In quest’elaborato intendo trovare e caratterizzare un insieme statistico per le popolazioni che superi l’incoveniente delle distribuzioni uniformi. L’invarianza dello stato termico nell’accoppiamento di sistemi identici verrà considerato come guida nella definizione di una nuova distribuzione di probabilità sulle popolazioni. Tale ensemble, detto Thermalization Resilient Ensemble, fornisce un contesto adatto al trattamento delle interazioni tra sistemi quantistici, fintanto che la struttura della distribuzione statistica è preservata e l’identificazione delle proprietà termodinamiche assicurata. Questo potrebbe diventare l’ensemble statistico privilegiato per l’implementazione di Simulazioni di Dinamica Quantistica. Dopo aver introdotto le proprietà medie del Thermalization Resilent Ensemble, ricaverò una distribuzione di probabilità sugli stati puri, mediante un’analisi geometrica sullo spazio di Hilbert. Gli elementi di superficie di un ellissoide verranno messi in relazione alla densità di probabilità sulle popolazioni.La forma esplicita della distribuzione di probabilità, infatti, è un prerequisito indispensabile per eseguire simulazioni di Dinamica Quantistica. Tuttavia, i risultati ottenuti mediante l’analisi geometrica non possono essere facilmente estesi a sistemi con spettro delle energie non limitato e si è reso necessario lo sviluppo di una strategia alternativa. Verrà quindi descritto un algoritmo di riscalo di un ensemble statistico uniforme che permette un campionamento ben definito di una distribuzione di probabilità con i valori medi desiderati. In questo contesto dimostrerò come il comportamento termodinamico emerga nel limite di sistemi macroscopici. Nell’ultima parte di questo elaborato di tesi considererò gli aspetti dinamici dell’esperimento di termalizzazione. Due sistemi identici, inizialmente a diverse temperature, verranno messi a contatto attraverso due generiche forme dell’Hamiltoniano di interazione. Verrà poi effettuata l’analisi dello stato di equilibrio finale, evidenziando come l’approccio statistico possa essere molto utile nella definizione dell’equilibrio in sistemi quantistici complessi.