Cutting Feynman Amplitudes: from Adaptive Integrand Decomposition to Differential Equations on Maximal Cut

In questa tesi si discutono metodi avanzi per il calcolo dei contributi perturbativi alle ampiezze di scattering nel contesto del Modello Standard delle interazioni fondamentali. In particolare, si avanzano nuove interpretazioni del ruolo dell’unitarietà delle ampiezze di scattering, sia nella comprensione teorica che nella semplificazione computazionale dei calcoli a multi-loop. Dal punto di vista prettamente algebrico della decomposizione a livello integrando, l’unitarietà generalizzata consente di esprimere l’integrando associato ad una qualunque ampiezza a multi-loop in termini di una combinazione lineare di un numero minimo di integrandi irriducibili, a loro volta associati ad una base di integrali indipendenti, generalmente chiamati master integral. In questo contesto, viene avanzata una formulazione adattiva dell’algoritmo di decomposizione integranda, che parametrizza in maniera sistematica lo spazio dei momenti di ciascun integrando a seconda della relativa configurazione cinematica. Questa riformulazione rende la decomposizione a livello integrando, che in passato ha svolto un ruolo fondamentale nella semplificazione ad automazione dei calcoli a un loop, uno strumento versatile ed efficiente anche a multi-loop. A riprova della generalità del metodo proposto, in questa tesi vengono determinate le basi integrande universali per ampiezze a due loop con cinematica arbitraria e si illustra la sua fattibilità tecnica attraverso la prima implementazione automatica della decomposizione integranda analitica a uno e due loop. Sul piano analitico, invece, si discute il ruolo dell’unitarietà generalizzata nella soluzione delle equazioni differenziali per integrali di Feynman in regolarizzazione dimensionale. La determinazione dell’espressione analitica dei master integral in termini di un’espansione di Laurent nel parametro regolarizzatore richiede la conoscenza delle soluzioni omogenee del sistema di equazioni differenziali a d=4. Nei casi in cui gli integrali di Feynman soddisfino equazioni differenziali del primo ordine con una dipendenza lineare in d, tali soluzioni omogenee posso essere determinate attraverso la soluzione esponenziale di Magnus. In questa tesi, quest’ultima viene applicata al calcolo dei master integrals a due loop per diversi processi di scattering nel Modello Standard, quali il decadimento del bosone di Higgs in the bosoni elettro-deboli W, gli accoppiamenti di triplo gauge ZWW e γ∗WW, nonché lo scattering elastico tra elettrone e muone in elettrodinamica quantistica. In un certo numero di casi, l’inadeguatezza del metodo di Magnus è indice della presenza di master integral che soddisfano equazioni differenziali di ordine più elevato, per le quali non esiste una sistematica trattazione matematica. In questa tesi mostriamo che i maximal-cut degli integrali di Feynman soddisfano, per costruzione, la parte omogenea delle relative equazioni differenziali, indipendentemente dal loro ordine e complessità. Di conseguenza, ogniqualvolta un integrale di Feynman soddisfa un’equazione di ordine elevato, il calcolo del maximal-cut su domini di integrazione indipendenti fornisce una rappresentazione integrale chiusa di un insieme completo di soluzioni omogenee. Questa strategia viene applicata agli integrali ellittici a due-loop che compaiono nelle correzioni ai processi gg → gg e gg → gH mediate da quark pesanti e al diagramma a banana a tre loop, che costituisce il primo esempio di integrali di Feynman associato ad un’equazione differenziale del terzo ordine. I risultati presentati in questa tesi illustrano l’efficacia dei metodi di unitarietà, sia nella gestione della complessità algebrica dei calcoli a multi-loop, sia nell’indagine matematica delle nuove classi di funzioni incontrate nella fisica delle interazioni fondamentali.