Certain braided weak Hopf C*-algebras associated to modular categories

E’ ben noto in letteratura che, dato un gruppo abeliano e localmente compatto G, l’insieme Ĝ degli omomorfismi continui da G nei numeri complessi di modulo 1 è ancora un gruppo abeliano localmente compatto, chiamato duale di G. Il duale di Ĝ è pertanto ancora un gruppo del medesimo tipo. Il teorema di Pontrjagin asserisce che quest’ultimo è isomorfo e omeomorfo a G. E’ possibile estendere questo risultato a gruppi non abeliani? Consideriamo un gruppo compatto G non abeliano. Se definissimo Ĝ come nel caso abeliano, non saremmo in grado di ricostruire il gruppo di partenza. Il motivo è il seguente. Nel caso abeliano Ĝ è l’insieme delle rappresentazioni irriducibili di G. Dal momento che esse sono tutte e sole le rappresentazioni di dimensione 1, Ĝ è un gruppo. Nel caso non abeliano, invece, le rappresentazioni irriducibili possono avere dimensione maggiore di 1, e il prodotto tensoriale di due di loro può essere riducibile. Pertanto è necessario mutare il punto di vista. Si indica in tal caso con Ĝ la categoria tensoriale simmetrica delle rappresentazioni finito-dimensionali di G. E’ possibile ricostruire G da Ĝ=Rep(G) alla stregua di quanto accade nel caso abeliano? Chiamiamo E il funtore tensoriale che va da Rep(G) alla categoria degli spazi vettoriali Vect e che manda (π(V),V)) in V, mentre agisce come l’identità sulle frecce. Un funtore di questo tipo è detto funtore di immersione. Più in generale, un funtore tensoriale F da una categoria astratta C a Vect è detto funtore di fibra. Chiamiamo Nat(E) l’insieme delle trasformazioni naturali da E in sé. Il teorema di Tannaka afferma che Nat(E) è un gruppo compatto ed è isomorfo e omeomorfo a G. Supponiamo invece di avere una categoria tensoriale simmetrica C e di chiederci sotto quali ipotesi esista un gruppo G tale che C=Rep(G). La risposta è il teorema di Krein, che dice che se C è dotato di un funtore tensoriale di fibra E:C—>Vect, allora C=Rep(G), dove G=Nat(E). Inoltre E, se esiste, è unico. Come si evince, l’esistenza del funtore di fibra è essenziale per ricostruire un gruppo a partire da una categoria. E’ possibile farne a meno in alcune circostanze? Nel caso in cui la categoria C è una C*-categoria tensoriale, la risposta è affermativa ed è il Teorema di Doplicher-Roberts. Finora abbiamo sempre considerato categorie simmetriche. Cosa accade se indeboliamo questa condizione, considerando per esempio più generali categorie di treccia? In questo caso, può accadere che il funtore di fibra non esista affatto, o nel caso esista che non sia unico. Inoltre, l’oggetto ricostruito non può essere un gruppo, ma un’algebra di Hopf o una sua generalizzazione (quantum group, algebra di Hopf dei moltiplicatori,…). Infine, ci si può chiedere se data una categoria tensoriale con simmetria di treccia, si possa ricostruire un oggetto H tale che C=Rep(H) anche quando si ha un funtore E da C in Vect non propriamente tensoriale ma con una struttura più debole. Nel caso in cui E è un funtore quasi-tensoriale, l’oggetto ricostruito H esiste ed è un’algebra di quasi-Hopf. Nel caso in cui il funtore E è debolmente quasi-tensoriale, H è un’algebra di quasi-Hopf debole (ovvero con coprodotto non unitale). La prima di queste due affermazioni è dovuta a Majid, la seconda ad Haring-Oldenburg. Ciò che ho detto sinora funge da background per quanto riguarda il lavoro sviluppato nella tesi, che è stato portato avanti con la collaborazione e sotto la supervisione della professoressa Pinzari. In ciò che seguirà esporrò dunque le linee essenziali del lavoro. Consideriamo particolari C*-categorie di fusione con braiding unitario, precisamente quelle che si ottengono tramite un opportuno quoziente dalle categorie di rappresentazione dei quantum groups Uq(g), dove q è una radice dell’unità e g un’algebra di Lie semplice. Categorie siffatte sono dotate di un funtore di immersione in Vect, detto funtore di Wenzl W (o in Hilb categoria degli spazi di Hilbert se consideriamo anche la struttura C* della categoria). Tale funtore non è certamente un funtore tensoriale e neppure quasi-tensoriale. Inoltre emergono notevoli difficoltà anche nel provare che il funtore sia debolmente quasi-tensoriale. Per questo motivo non è possibile applicare quei teoremi di ricostruzione generali sopra riportati. Tuttavia la particolare struttura della categoria ci ha consentito di dar vita comunque ad un teorema di ricostruzione nel caso in cui g=sln, costruendo dei gruppoidi quantistici che siano delle C*-algebre di quasi-Hopf deboli. Tale risultato risulta essere una generalizzazione di quanto realizzato dai fisici Mack e Schomerus all’inizio degli anni ’90 nel caso g=sl2. Il pregio del nostro lavoro sta nella canonicità della costruzione e nella sua facile estendibilità a casi diversi dal tipo A, mentre Mack e Schomerus adoperavano in maniera decisiva il fatto che g fosse sl2. Infine, tale costruzione permette di provare che il funtore di Wenzl (sempre allorquando g è di tipo A) è un funtore debolmente quasi-tensoriale, cosa non nota sinora. Sarebbe stato dunque possibile applicare il teorema di Haring-Oldenburg a W, ma ciò è possibile affermarlo solo in seguito al teorema di ricostruzione che abbiamo realizzato, e non prima. Infine, con il nostro lavoro è stato possibile dar vita ad una classe di oggetti più generale di quella ottenuta da Mack-Schomerus prima e da Haring-Oldenburg poi, spingendoci a darne una trattazione sistematica.