On the p-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves over totally real number fields

Let A be a modular abelian variety of GL2 -type over a totally real number filed F, let p be an odd rational prime and let P be an unramified prime above p in its ring of endomorphisms. In this thesis we start by proving a structure theorem for the Shafarevich-Tate of A. We then proceed to prove that the Kolyvagin’s conjecture holds for A and we provide some results on the structure of the Selmer group and the parity of its rank. Last we restrict ourselves to the case where A is a modular elliptic curve and prove the P-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for A.

Sia A una varietà abeliana modulare di tipo GL2 definita sopra un campo di numeri totalmente reale, p un primo reale dispari e sia P un primo non ramificato sopra p nell’anello degli endomorfismi di A. In questa tesi iniziamo mostrando un teorema di struttura per il gruppo di Shafarevich-Tate di A. Successivamente dimostriamo la congettura di Kolyvagin per A e alcuni risultati sulla struttura del gruppo di Selmer e la parità del suo rango. Infine ci restringiamo al caso in cui A è una curva ellittica modulare e dimostriamo la P-parte della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per A.